突然感觉数列的极限有用了（用来“证明略”）

函数的极限

定义

类似于数列的极限

邻域

对于实数 $a, \delta$ ：

定义数集 $\{x \in R \mid a - \delta < x < a + \delta\}$ 为 $a$ 以 $\delta$ 为半径的邻域，记做 $U(a, \delta)$

定义数集 $\{x \in R \mid a - \delta < x < a 或 a < x < a + \delta\}$ 为 $a$ 以 $\delta$ 为半径的去心邻域，记做 $\mathring{U}(a, \delta)$

定义数集 $\{x \in R \mid a - \delta < x < a\}$ 为 $a$ 以 $\delta$ 为半径的去心左邻域，记做 $\mathring{U} _- (a, \delta)$

定义数集 $\{x \in R \mid a < x < a + \delta\}$ 为 $a$ 以 $\delta$ 为半径的去心右邻域，记做 $\mathring{U} _+ (a, \delta)$

函数的极限

对于一个连续函数 $f(x)$ ，若 $\exists a \in R, s.t. \forall \epsilon > 0, \exists M, s.t. \forall x > M , \mid f(x) - a \mid < \epsilon$ ，我们就称 $a$ 为函数 $f(x)$ 的极限，记作 $\lim \limits _{x \to + \infty} f(x) = a$ ，也可简记为 $f(x) \to a(x \to + \infty)$

注意到函数 $x$ 可负，故对于一个连续函数 $f(x)$ ，若 $\exists a \in R, s.t. \forall \epsilon > 0, \exists M, s.t. \forall x < M , \mid f(x) - a \mid < \epsilon$ ，我们也称 $a$ 为函数 $f(x)$ 的极限，记作 $\lim \limits _{x \to - \infty} f(x) = a$

如果 $a$ 两个都满足，可记作 $\lim \limits _{x \to \infty} f(x) = a$

对于一个连续函数 $f(x)$ ，若它在 $\mathring{U}(x _0, M)$ 上有定义，且 $\exists a \in R, s.t. \forall \epsilon > 0, \exists \delta, s.t. \forall x \in \mathring{U}(x _0, \delta), \mid f(x) - a \mid < \epsilon$ ，我们就称 $a$ 为函数 $f(x)$ 的点极限，记作 $\lim \limits _{x \to x _0} f(x) = a$

对于一个连续函数 $f(x)$ ，若它在 $\mathring{U} _- (x _0, M)$ 上有定义，且 $\exists a \in R, s.t. \forall \epsilon > 0, \exists \delta, s.t. \forall x \in \mathring{U} _- (x _0, \delta), \mid f(x) - a \mid < \epsilon$ ，我们就称 $a$ 为函数 $f(x)$ 的左极限，记作 $\lim \limits _{x \to {x _0}^-} f(x) = a$

对于一个连续函数 $f(x)$ ，若它在 $\mathring{U} _+ (x _0, M)$ 上有定义，且 $\exists a \in R, s.t. \forall \epsilon > 0, \exists \delta, s.t. \forall x \in \mathring{U} _+ (x _0, \delta), \mid f(x) - a \mid < \epsilon$ ，我们就称 $a$ 为函数 $f(x)$ 的右极限，记作 $\lim \limits _{x \to {x _0}^+} f(x) = a$

函数的左极限和右极限统称为单侧极限

明显， $\lim \limits _{x \to {x _0}^+} f(x) = a$ 且 $\lim \limits _{x \to {x _0}^-} f(x) = a$ 与 $\lim \limits _{x \to x _0} f(x) = a$ 互为充要条件

连续函数

以下认为自变量都在定义域内

若 $\lim \limits _{x \to x _0} f(x) = f(x _0)$ 我们就称 $f(x)$ 在点 $x$ 处连续

若 $\forall x_0 \in (l, r)$ ，$f(x)$ 在 $x _0$ 处都连续，我们就称 $f(x)$ 在区间 $(l, r)$ 连续

性质

唯一性

若 $f(x) \to a(x \to r)$ 且 $f(x) \to b (x \to r)$ ，则 $a = b$

证明类似数列极限，这里略

局部有界

若 $f(x) \to a(x \to x _0)$ 则 $\exists \delta > 0, M > 0, s.t. \forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta), \mid f(x) \mid \le M$

点连续/区间连续同样有局部有界性

证明略

局部保号

若 $f(x) \to a(x \to x _0)$ 且 $a < a’$ 则 $\exists \delta > 0, s.t. \forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta), f(x) < a’$

点连续/区间连续同样有局部保号性

证明略

迫敛性

若 $f(x) \to a(x \to x_0)$ ， $g(x) \to a (x \to x_0)$ ，且有 $\exists \delta > 0, s.t. \forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta), f(x) \le h(x) \le g(x)$ 则 $h(x) \to a(x \to x_0)$

点连续/区间连续同样有迫敛性，即

若 $f(x), g(x)$ 在点 $x _0$ 处连续，且有 $f(x_0) = g(x _0)$ ， $f(x) \le h(x) \le g(x)$ ，则 $h(x)$ 在 $x_0$ 处连续

证明略

局部保不等式

若 $f(x) \to a(x \to x_0)$ ， $g(x) \to b (x \to x_0)$ ，且有 $\exists \delta > 0, s.t. \forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta), f(x) < g(x)$ 则 $a < b$

点连续/区间连续同样有局部不等式性

证明：

反设 $a > b$ ，则有 $a > \frac{a + b}{2} > b$

由局部保号， $\forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta_1), f(x) > \frac{a + b}{2}$ ， $\forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta_2), g(x) < \frac{a + b}{2}$

故 $\forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta_1) \land \mathring{U}(x_0, \delta_2), f(x) > \frac{a + b}{2} > g(x)$ 与题设矛盾

QED

极限的四则运算

设下面的取值都落在定义域内：

若 $f(x) \to a(x \to x_0)$ ， $g(x) \to b (x \to x_0)$ ，且 $h(x) = f(x) \odot g(x)$ （ $\odot$ 代表 $+, - , \times, \div$ ，若为 $\div$ 则保证 $g(x) \ne 0$ ） ，则 $h(x) \to a \odot b (x \to x_0)$

点连续/区间连续同理

证明太长且类似于数列，就略了

归结定理（海涅定理）

$f(x) \to a(x \to x_0)$ 的充要条件是：对于任意的数列 $\{x _n\} _{n = 1}^{+ \infty}$ ，满足 $x _n \to x _0$ 有数列 $\{f(x _n)\} _{n = 1}^{+ \infty}$ 的极限为 $a$

证明较繁琐，这里略

区间有界

若 $f(x)$ 在 $[l, r]$ 连续，则 $f(x)$ 在 $[l, r]$ 上有界